8. Дано: AC — касательная к окружности в точке A; O — центр окружности; A и B — точки окружности. Доказать: ∠AOB = 2∠CAB.

Угол \(\angle CAB\) образован касательной \(AC\) и хордой \(AB\).

1. По теореме о касательной и хорде угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой этой хордой: \(\angle CAB=\frac12\widehat{AB}\).
2. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен величине этой дуги: \(\angle AOB=\widehat{AB}\).
3. Следовательно, \(\angle AOB=2\angle CAB\).

Ответ: \(\angle AOB=2\angle CAB\).