7. На рисунке FE = 4, FA = AK, EB = BM, ∠FEM = 150°, ∠KEM = 90°. Найти AB.

Поскольку FE горизонтален, а угол FEM равен 150°, прямая EM образует с горизонталью угол 30°.

Треугольник KEM прямоугольный при E. Так как FA = AK, точка A — середина FK. Из рисунка AB параллельна FE и KM, а B — середина EM. Значит, AB — средняя линия трапеции FE MK и \(AB=\frac{FE+KM}{2}\).

Обозначим высоту трапеции через h. Из угла при E и прямого угла KEM следует, что горизонтальное смещение от E до вертикали через K равно \(h/\sqrt{3}\). Угол EM к горизонтали равен 30°, поэтому горизонтальное смещение от E до M равно \(\sqrt{3}h\). Поскольку KE перпендикулярна EM, горизонтальный отрезок FE равен \(h/\sqrt{3}\); следовательно, \(h=4\sqrt{3}\). Тогда горизонтальное смещение от E до M равно 12, и \(KM=4+12=16\).

Следовательно, \(AB=\frac{4+16}{2}=10\).

Ответ: AB = 10.