7) На рисунке отрезок РТ параллелен стороне AD, луч РК - биссектриса угла СРТ. Найдите величину угла РКТ.

Решение:

Дано:
РТ || AD
РК - биссектриса \(\angle СРТ\)
\(\angle С = 80^{\circ}\)
\(\angle A = 40^{\circ}\)

Найти: \(\angle РКТ\)

1. В \(\triangle АDС\): \(\angle ADC = 180^{\circ} - \angle C - \angle A = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 40^{\circ} = 60^{\circ}\)
2. Так как РТ || AD, то \(\angle РТС = \angle ADC = 60^{\circ}\) (соответственные углы при параллельных прямых РТ и AD и секущей CD).
3. \(\angle СРТ + \angle РТD + \angle TDC + \angle DCA = 360^{\circ}\) (сумма углов четырехугольника).
4. \(\angle СРТ = 180^{\circ} - \angle РТС - \angle C = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 80^{\circ} = 40^{\circ}\) (сумма углов треугольника).
5. Так как РК — биссектриса \(\angle СРТ\), то \(\angle КРТ = \angle КРС = \frac{1}{2} \angle СРТ = \frac{1}{2} \cdot 40^{\circ} = 20^{\circ}\)
6. В \(\triangle РКТ\): \(\angle РКТ = 180^{\circ} - \angle РТС - \angle КРТ = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 20^{\circ} = 100^{\circ}\).

Ответ: 100^{\(\circ\)}.