7. На рисунке точки A, B, C образуют треугольник; F лежит на BC, E — на AC, отрезки AF и BE пересекаются в K. Дано: BF = 3, FC = 2, AE = 6, EC = 2,5. Найти: AK : KF.

Так как F лежит на BC, а E — на AC, применим теорему Чевы для трёх cevian треугольника:

Пусть K делит AF в отношении AK:KF = x:y. По теореме о пересекающихся cevian (или координатному соотношению для пересечения AF и BE) получаем

\(\dfrac{AK}{KF}=\dfrac{AE\cdot BF}{EC\cdot FC}\).

Подставим данные: \(\dfrac{AK}{KF}=\dfrac{6\cdot3}{2.5\cdot2}=\dfrac{18}{5}=3.6\).

Ответ: \(AK:KF=18:5\).