№ 7. Найди сумму указанных векторов: 1) в прямоугольнике ABCD, где AB = 12 и BC = 5, изображены векторы BK и AK; 2) в прямоугольнике ABCD, где AB = 20 и AD = 21, изображены векторы BK и AK; 3) в прямоугольнике ABCD, где AB = 6 и AD = 8, изображены векторы BK и AK.

Во всех трёх рисунках K — точка пересечения диагоналей, поэтому это середина диагонали BD. По правилу сложения векторов \(\vec{BK}+\vec{AK}=\vec{AK}+\vec{BK}\). Поскольку \(\vec{AK}+\vec{KB}=\vec{AB}\), а \(\vec{BK}=-\vec{KB}\), получаем, что искомая сумма направлена по диагонали AC: \(\vec{BK}+\vec{AK}=\vec{AC}\) не следует из этого равенства; точное сложение показывает, что сумма равна вектору от A к K, продолженному на вектор BK. Так как K — середина BD, координатно сумма равна половине диагонали AC.

Действительно, зададим A=(0,0), B=(0,h), D=(w,0), C=(w,h). Тогда K=(w/2,h/2), \(\vec{BK}=(w/2,-h/2)\), \(\vec{AK}=(w/2,h/2)\), и сумма равна (w,0), то есть \(\vec{AD}\). Следовательно, длина суммы равна стороне AD.

1. AD = BC = 5, значит, |BK⃗ + AK⃗| = 5.
2. AD = 21, значит, |BK⃗ + AK⃗| = 21.
3. AD = 8, значит, |BK⃗ + AK⃗| = 8.

Ответ: 1) 5; 2) 21; 3) 8.