№7. Найдите первообразную для функции f(x)=7x^6 + 9x^8

Решение:

Чтобы найти первообразную для функции \( f(x) = 7x^6 + 9x^8 \), найдем первообразные для каждого слагаемого отдельно, используя правило \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).

Для \( 7x^6 \):

\[ \int 7x^6 dx = 7 \int x^6 dx = 7 \cdot \frac{x^{6+1}}{6+1} + C_1 = 7 \cdot \frac{x^7}{7} + C_1 = x^7 + C_1 \]

Для \( 9x^8 \):

\[ \int 9x^8 dx = 9 \int x^8 dx = 9 \cdot \frac{x^{8+1}}{8+1} + C_2 = 9 \cdot \frac{x^9}{9} + C_2 = x^9 + C_2 \]

Складывая первообразные, получаем:

\[ F(x) = x^7 + x^9 + C \]

Где \( C = C_1 + C_2 \) — произвольная постоянная.

Среди предложенных вариантов ищем этот результат.

A) \( F(x) = 7x^7 + 9x^9 \) — неверно.

B) \( F(x) = x^7 - x^9 \) — неверно.

C) \( F(x) = x^7 + x^9 \) — верно (если \( C=0 \)).

Ответ: C)