7. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = x² + 1, прямыми x = a и x = b, осью абсцисс, если a = 2 и b = 3.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции находится с помощью определённого интеграла.

1. Запишем формулу для площади: \( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \)
2. Подставим значения \( a=2 \), \( b=3 \) и \( f(x) = x^2 + 1 \):
3. \( S = \int_{2}^{3} (x^2 + 1) dx \)
4. Найдем первообразную для \( x^2 + 1 \): \( F(x) = \frac{x^3}{3} + x \)
5. Вычислим значение первообразной на границах интегрирования:
6. \( F(3) = \frac{3^3}{3} + 3 = \frac{27}{3} + 3 = 9 + 3 = 12 \)
7. \( F(2) = \frac{2^3}{3} + 2 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3} \)
8. Вычислим площадь: \( S = F(3) - F(2) = 12 - \frac{14}{3} \)
9. \( S = \frac{36}{3} - \frac{14}{3} = \frac{22}{3} \)

Ответ: 22/3