7. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Решение:

Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: \( S = S_{осн} + S_{бок} \).

1. Основанием пирамиды является квадрат со стороной \( a = 6 \) см.

2. Площадь основания: \( S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \) кв. см.

3. Для нахождения площади боковой поверхности найдем апофему \( (l) \). Апофема, высота пирамиды \( (h) \) и половина стороны основания \( (a/2) \) образуют прямоугольный треугольник. Высота \( h = 4 \) см. Половина стороны основания \( a/2 = 6/2 = 3 \) см.

4. Найдем апофему по теореме Пифагора: \( l^2 = h^2 + (a/2)^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \).

\( l = \sqrt{25} = 5 \) см.

5. Площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на апофему: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l \).

Периметр основания: \( P_{осн} = 4 \cdot a = 4 \cdot 6 = 24 \) см.

\( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60 \) кв. см.

6. Общая площадь поверхности пирамиды: \( S = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 60 = 96 \) кв. см.

Ответ: 96