7. Найдите площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Решение:

Площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \).

1. Площадь основания:

Основание — квадрат со стороной \( a = 6 \) см.

\( S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \) см².

2. Площадь боковой поверхности:

Боковая поверхность состоит из четырёх одинаковых равнобедренных треугольников. Для нахождения площади одного такого треугольника нам нужна его высота — апофема пирамиды \( l \).

Сначала найдём апофему. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( h = 4 \) см, половиной стороны основания \( \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см, и апофемой \( l \) (гипотенуза).

По теореме Пифагора: \( l^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 \)

\[ l^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \]

\[ l = \(\sqrt{25}\) = 5 \) см.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l \).

Периметр основания: \( P_{осн} = 4a = 4 \cdot 6 = 24 \) см.

\( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60 \) см².

3. Общая площадь поверхности:

\( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 60 = 96 \) см².

Ответ: 96