7. Найдите синус острого угла равнобедренной трапеции, разность оснований которой равна 8 см, а сумма боковых сторон 10 см.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где \(AD\) и \(BC\) — основания, \(AB = CD\) — боковые стороны. Пусть \(AD > BC\).

Дано:

• Разность оснований: \(AD - BC = 8\) см.
• Сумма боковых сторон: \(AB + CD = 10\) см.

Так как трапеция равнобедренная, \(AB = CD\), следовательно, \(2 \times AB = 10\) см, откуда \(AB = 5\) см.

Опустим из вершины \(B\) и \(C\) высоты на основание \(AD\). Пусть это будут \(BE\) и \(CF\) соответственно, где \(E\) и \(F\) лежат на \(AD\).

\(BCFE\) — прямоугольник, поэтому \(EF = BC\).

\(AE = FD = \frac{AD - EF}{2} = \frac{AD - BC}{2} = \frac{8}{2} = 4\) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABE\) (\(\angle AEB = 90^{\circ}\)).

Гипотенуза \(AB = 5\) см.

Катет \(AE = 4\) см.

Найдем высоту \(BE\) по теореме Пифагора:

\(BE^2 = AB^2 - AE^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9\)

\(BE = \sqrt{9} = 3\) см.

Теперь найдем синус острого угла трапеции. Острый угол — это угол при большем основании, например, \(\angle BAE\).

В прямоугольном треугольнике \(ABE\):

\(\sin(\angle BAE) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BE}{AB} = \frac{3}{5} = 0,6\).

Ответ: 0,6.