7. Найдите tg²α, если sin²α + 13cos²α = 6.

Решение:

Дано уравнение: \( \sin^2\alpha + 13\cos^2\alpha = 6 \).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \). Отсюда \( \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha \).

Подставим это в исходное уравнение:

\[ (1 - \cos^2\alpha) + 13\cos^2\alpha = 6 \]

\[ 1 + 12\cos^2\alpha = 6 \]

\[ 12\cos^2\alpha = 5 \]

\[ \cos^2\alpha = \frac{5}{12} \]

Теперь найдём \( \sin^2\alpha \):

\[ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{5}{12} = \frac{12 - 5}{12} = \frac{7}{12} \]

Нам нужно найти \( \tan^2\alpha \). Вспомним, что \( \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \), следовательно \( \tan^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \).

\[ \tan^2\alpha = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{5}{12}} = \frac{7}{12} \cdot \frac{12}{5} = \frac{7}{5} \]

Ответ: 7/5