7. Найдите точку минимума функции y = 9x^2 - x^3.

Решение:

Чтобы найти точку минимума функции, нужно найти производную функции, приравнять её к нулю, найти критические точки и определить, в какой из них функция имеет минимум.

1. Найдем производную функции \( y = 9x^2 - x^3 \):
• \( y' = \frac{d}{dx}(9x^2 - x^3) \)
• \( y' = 18x - 3x^2 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
• \( 18x - 3x^2 = 0 \)
• \( 3x(6 - x) = 0 \)
3. Отсюда получаем два возможных значения \( x \):
• \( 3x = 0 \) \(\implies\) \( x_1 = 0 \)
• \( 6 - x = 0 \) \(\implies\) \( x_2 = 6 \)
4. Теперь определим, какая из этих точек является точкой минимума, с помощью второй производной или исследования знака первой производной. Воспользуемся второй производной:
• \( y'' = \frac{d}{dx}(18x - 3x^2) \)
• \( y'' = 18 - 6x \)
5. Проверим знак второй производной в критических точках:
• В точке \( x_1 = 0 \): \( y''(0) = 18 - 6(0) = 18 \). Так как \( y''(0) > 0 \), то в точке \( x=0 \) функция имеет минимум.
• В точке \( x_2 = 6 \): \( y''(6) = 18 - 6(6) = 18 - 36 = -18 \). Так как \( y''(6) < 0 \), то в точке \( x=6 \) функция имеет максимум.

Ответ: Точка минимума функции находится при $$x = 0$$.