7 Найдите значение выражения (25a² - 1 / 16b²) : (5a - 1 / 4b) при a = 2/5 и b = 1/16.

Задание 7: Вычисление значения выражения

Сначала упростим данное выражение. Заметим, что числитель первой дроби \( 25a^2 - \frac{1}{16b^2} \) можно представить как разность квадратов: \( (5a)^2 - (\frac{1}{4b})^2 \).

Формула разности квадратов: \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \).

Применим её к числителю:

\( 25a^2 - \frac{1}{16b^2} = (5a)^2 - (\frac{1}{4b})^2 = (5a - \frac{1}{4b})(5a + \frac{1}{4b}) \).

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{(5a - \frac{1}{4b})(5a + \frac{1}{4b})}{\frac{1}{16b^2}} : (5a - \frac{1}{4b}) \]

Разделим на \( (5a - \frac{1}{4b}) \). Это то же самое, что умножить на \( \frac{1}{5a - \frac{1}{4b}} \).

Если \( 5a - \frac{1}{4b} \) не равно нулю, то:

\[ \frac{(5a - \frac{1}{4b})(5a + \frac{1}{4b})}{16b^2} \cdot \frac{1}{(5a - \frac{1}{4b})} \]

Сокращаем \( (5a - \frac{1}{4b}) \):

\[ \frac{5a + \frac{1}{4b}}{16b^2} \]

Теперь подставим значения \( a = \frac{2}{5} \) и \( b = \frac{1}{16} \).

Сначала вычислим \( 5a \):

\[ 5a = 5 \cdot \frac{2}{5} = 2 \]

Теперь вычислим \( \frac{1}{4b} \):

\[ \frac{1}{4b} = \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{16}} = \frac{1}{\frac{4}{16}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4 \]

Теперь вычислим \( 5a + \frac{1}{4b} \):

\[ 5a + \frac{1}{4b} = 2 + 4 = 6 \]

Вычислим \( 16b^2 \):

\[ 16b^2 = 16 \cdot (\frac{1}{16})^2 = 16 \cdot \frac{1}{256} = \frac{16}{256} = \frac{1}{16} \]

Теперь подставим вычисленные значения в упрощённое выражение:

\[ \frac{6}{\frac{1}{16}} = 6 \cdot 16 = 96 \]

Важно проверить, что \( 5a - \frac{1}{4b} \) не равно нулю:

\[ 5a - \frac{1}{4b} = 2 - 4 = -2 \]

Так как \( -2 \neq 0 \), наше сокращение было корректным.

Ответ: 96