9 Найдите длину высоты равностороннего треугольника, если его сторона равна √3.

Задание 9: Высота равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны и все углы равны 60 градусам.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна \( a \). В данном случае \( a = \sqrt{3} \).

Высота равностороннего треугольника, проведенная из вершины к противоположной стороне, делит эту сторону пополам и образует два прямоугольных треугольника.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой \( h \), половиной стороны \( \frac{a}{2} \) и стороной треугольника \( a \) (которая является гипотенузой), мы можем применить теорему Пифагора:

\[ h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2 \]

Выразим \( h^2 \):

\[ h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 \]

\[ h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} \]

\[ h^2 = \frac{4a^2 - a^2}{4} \]

\[ h^2 = \frac{3a^2}{4} \]

Теперь найдём \( h \), извлекая квадратный корень:

\[ h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{a^2}}{\sqrt{4}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \]

Теперь подставим значение стороны \( a = \sqrt{3} \):

\[ h = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} \]

\[ h = \frac{3}{2} \]

Таким образом, длина высоты равностороннего треугольника равна \( \frac{3}{2} \).

Ответ: \( \frac{3}{2} \)