7. Найдите значение выражения: a) 5³ ⋅ 5⁻¹ ⋅ 25 б) 12⁸ / (4⁶ ⋅ 3⁶)

Решение:

1. а)
   \( 5^3 \cdot 5^{-1} \cdot 25 = 5^3 \cdot 5^{-1} \cdot 5^2 \).
   При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.
   \[ 5^{3 + (-1) + 2} = 5^{3 - 1 + 2} = 5^4 \]
   \[ 5^4 = 625 \]
2. б)
   \( \frac{12^8}{4^6 \cdot 3^6} \).
   Воспользуемся свойством степеней \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \), тогда \( 4^6 \cdot 3^6 = (4 \cdot 3)^6 = 12^6 \).
   Теперь выражение выглядит так:
   \[ \frac{12^8}{12^6} \]
   При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.
   \[ 12^{8-6} = 12^2 \]
   \[ 12^2 = 144 \]

Ответ: а) 625, б) 144.