7 Найдите значение выражения \(\frac{2(4a^3)}{a^6 a^8}\) при \(a = \sqrt{20}\).

Давай упростим выражение сначала:

• \(\frac{2(4a^3)}{a^6 a^8} = \frac{8a^3}{a^{6+8}} = \frac{8a^3}{a^{14}}\).
• Используя свойство степеней \(a^m / a^n = a^{m-n}\), получаем: \(8a^{3-14} = 8a^{-11}\).
• Отрицательная степень означает обратное число: \(8a^{-11} = \frac{8}{a^{11}}\).

Теперь подставим значение \(a = \sqrt{20}\).

• \(a^{11} = (\sqrt{20})^{11} = (20^{1/2})^{11} = 20^{11/2}\).
• \(20^{11/2} = 20^{5.5} = 20^5 \cdot 20^{0.5} = 20^5 \cdot \sqrt{20}\).
• \(20^5 = (2 \cdot 10)^5 = 2^5 \cdot 10^5 = 32 \cdot 100000 = 3200000\).
• \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\).
• Значит, \(a^{11} = 3200000 \cdot 2\sqrt{5} = 6400000\sqrt{5}\).
• Итоговое выражение: \(\frac{8}{6400000\sqrt{5}}\).
• Сокращаем 8 и 6400000: \(\frac{1}{800000\sqrt{5}}\).
• Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}\):
• \(\frac{1 \cdot \sqrt{5}}{800000\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{800000 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{4000000}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt{5}}{4000000}\)