9 В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН — высота, АВ = 180, sin A = 1/6. Найдите длину отрезка АН.

В прямоугольном треугольнике ABC:

• Дано: \(\angle C = 90^\circ\), \(AB = 180\), \(\sin A = \frac{1}{6}\).
• Найти: \(AH\).

Сначала найдем длину катета BC, используя определение синуса угла A:

• \(\sin A = \frac{BC}{AB}\)
• \(\frac{1}{6} = \frac{BC}{180}\)
• \(BC = \frac{180}{6} = 30\).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. В нем \(\angle BHC = 90^\circ\) и \(\angle B = \angle ABC\).

В треугольнике ABC, \(\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (1/6)^2} = \sqrt{1 - 1/36} = \sqrt{35/36} = \frac{\sqrt{35}}{6}\).

В прямоугольном треугольнике ABC, \(\cos A = \frac{AC}{AB}\), значит \(AC = AB \cdot \cos A = 180 \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = 30\sqrt{35}\).

В прямоугольном треугольнике ACH, \(\angle CHA = 90^\circ\).

Мы можем использовать теорему о высоте в прямоугольном треугольнике: \(AC^2 = AH \cdot AB\).

• \((30\sqrt{35})^2 = AH \cdot 180\)
• \(900 \cdot 35 = AH \cdot 180\)
• \(31500 = AH \cdot 180\)
• \(AH = \frac{31500}{180}\)
• \(AH = \frac{3150}{18}\)
• \(AH = \frac{1050}{6}\)
• \(AH = 175\).

Ответ: 175