Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Задание 7. Вычисление значения выражения
Сначала упростим выражение. Заметим, что числитель первой дроби \(36a^2 - 1\) является разностью квадратов:
\[ 36a^2 - 1 = (6a)^2 - 1^2 = (6a - 1)(6a + 1) \]
Также заметим, что знаменатель первой дроби \(49b^2\) является квадратом:
\[ 49b^2 = (7b)^2 \]
Теперь подставим это в исходное выражение:
\[ (\frac{(6a - 1)(6a + 1)}{(7b)^2} - 1) : (\frac{6a}{7b} - 1) \]
Приведём к общему знаменателю в первой скобке:
\[ \frac{(6a - 1)(6a + 1) - (7b)^2}{(7b)^2} : (\frac{6a}{7b} - 1) \]
Разложим числитель как разность квадратов:
\[ \frac{(6a - 1 - 7b)(6a - 1 + 7b)}{(7b)^2} : (\frac{6a - 7b}{7b}) \]
Теперь выполним деление, умножив на обратную дробь:
\[ \frac{(6a - 1 - 7b)(6a - 1 + 7b)}{(7b)^2} \cdot \frac{7b}{6a - 7b} \]
Сократим \(7b\):
\[ \frac{(6a - 1 - 7b)(6a - 1 + 7b)}{7b(6a - 7b)} \]
Обратите внимание, что \(6a - 1 - 7b \) не равно \(6a - 7b\). Давайте вернемся к первоначальному выражению и упростим его по-другому.
Заметим, что \(36a^2 - 1\) это \((6a)^2 - 1^2\).
А \(49b^2\) это \((7b)^2\).
Первая часть выражения: \(\frac{36a^2}{49b^2} - 1 = \frac{(6a)^2}{(7b)^2} - 1 = (\frac{6a}{7b})^2 - 1\)
Используем формулу разности квадратов: \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). В нашем случае \(x = \frac{6a}{7b}\).
Значит, \((\frac{6a}{7b})^2 - 1 = (\frac{6a}{7b} - 1)(\frac{6a}{7b} + 1)\)
Теперь всё выражение выглядит так:
\[ (\frac{6a}{7b} - 1)(\frac{6a}{7b} + 1) : (\frac{6a}{7b} - 1) \]
Сокращаем \(\frac{6a}{7b} - 1\):
\[ \frac{6a}{7b} + 1 \]
Теперь подставим значения \(a = \frac{5}{6}\) и \(b = \frac{2}{21}\).
Сначала вычислим \(\frac{6a}{7b}\):
\[ \frac{6a}{7b} = \frac{6 \cdot \frac{5}{6}}{7 \cdot \frac{2}{21}} = \frac{5}{\frac{14}{21}} = \frac{5}{\frac{2}{3}} = 5 \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{2} \]
Теперь подставим это значение в упрощённое выражение:
\[ \frac{15}{2} + 1 = \frac{15}{2} + \frac{2}{2} = \frac{17}{2} \]
Ответ: \(\frac{17}{2}\).
