7. Найдите значение выражения \( \frac{6^2(k-1)^2}{k^2-1} \cdot \frac{(k+1)^2}{k^2+1} \) при \( k = -√5 \) и \( l = √7 \).

Решение:

Сначала упростим данное выражение:

1. Знаменатель первой дроби \( k^2 - 1 \) можно представить как разность квадратов: \( k^2 - 1 = (k - 1)(k + 1) \).
2. Знаменатель второй дроби \( k^2 + 1 \) не раскладывается на множители с действительными числами.
3. Числитель первой дроби \( 6^2(k-1)^2 = 36(k-1)^2 \).
4. Числитель второй дроби \( (k+1)^2 \).
5. Подставим разложенный знаменатель в выражение:
• \( \frac{36(k-1)^2}{(k-1)(k+1)} \cdot \frac{(k+1)^2}{k^2+1} \)
6. Сократим дробь:
• \( \frac{36(k-1)}{1} \cdot \frac{(k+1)}{k^2+1} \)
• \( = \frac{36(k-1)(k+1)}{k^2+1} \)
• \( = \frac{36(k^2-1)}{k^2+1} \)
7. Теперь подставим значение \( k = -√5 \) в упрощённое выражение:
• \( k^2 = (-√5)^2 = 5 \)
• \( \frac{36(5-1)}{5+1} = \frac{36 \cdot 4}{6} \)
• \( = 6 \cdot 4 = 24 \)

Значение \( l = √7 \) не используется в выражении.

Ответ: 24.