7. Найдите значение выражения $$\frac{6(2a)^{3}}{a^{15}a^{2}}$$, если $$a=\sqrt{96}$$.

Краткое пояснение:

Для нахождения значения выражения, сначала упростим его, используя свойства степеней, а затем подставим значение переменной.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упрощаем числитель. $$(2a)^3 = 2^3 · a^3 = 8a^3$$.
2. Шаг 2: Упрощаем знаменатель, используя свойство степеней с одинаковым основанием ($$a^m · a^n = a^{m+n}$$). $$a^{15} · a^2 = a^{15+2} = a^{17}$$.
3. Шаг 3: Подставляем упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение: $$\frac{6 · 8a^3}{a^{17}} = \frac{48a^3}{a^{17}}$$.
4. Шаг 4: Сокращаем дробь, используя свойство степеней $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$. $$\frac{48a^3}{a^{17}} = 48a^{3-17} = 48a^{-14} = \frac{48}{a^{14}}$$.
5. Шаг 5: Подставляем значение $$a=\sqrt{96}$$. $$a^{14} = (\sqrt{96})^{14} = (96^{1/2})^{14} = 96^{(1/2) · 14} = 96^7$$.
6. Шаг 6: Вычисляем окончательное значение: $$\frac{48}{96^7}$$.

Ответ: $$\frac{48}{96^7}$$