9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=30, sinA=$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$. Найдите AC.

Краткое пояснение:

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Используя данное соотношение, мы можем найти длину катета BC, а затем, применив теорему Пифагора, найти длину катета AC.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем значение противолежащего катета BC. По определению синуса, $$\sin A = \frac{BC}{AB}$$.
2. Шаг 2: Подставляем известные значения: $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{30}$$.
3. Шаг 3: Находим длину катета BC: $$BC = 30 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$$.
4. Шаг 4: Применяем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$.
5. Шаг 5: Подставляем известные значения и решаем относительно AC: $$AC^2 + (15\sqrt{3})^2 = 30^2$$.
6. Шаг 6: Вычисляем: $$AC^2 + (225 · 3) = 900$$.
7. Шаг 7: $$AC^2 + 675 = 900$$.
8. Шаг 8: $$AC^2 = 900 - 675 = 225$$.
9. Шаг 9: Находим AC, извлекая квадратный корень: $$AC = \sqrt{225} = 15$$.

Ответ: AC = 15