7 Найдите значение выражения \(\left(36a^2 - \frac{1}{16b^2}\right) : \left(6a - \frac{1}{4b}\right)\) при \(a = \frac{1}{6}\) и \(b = \frac{1}{20}\).

Решение:

Сначала упростим выражение, а затем подставим значения.

1. Упрощение выражения:

   Выражение в скобках \(36a^2 - \frac{1}{16b^2}\) является разностью квадратов, так как \(36a^2 = (6a)^2\) и \(\frac{1}{16b^2} = \left(\frac{1}{4b}\right)^2\).

   По формуле разности квадратов \(x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)\), получаем:

   \[ 36a^2 - \frac{1}{16b^2} = \left(6a - \frac{1}{4b}\right) \left(6a + \frac{1}{4b}\right) \]
   

   Теперь подставим это в исходное выражение:

   \[ \frac{\left(6a - \frac{1}{4b}\right) \left(6a + \frac{1}{4b}\right)}{6a - \frac{1}{4b}} \]
   

   Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:

   \[ 6a + \frac{1}{4b} \]
   
2. Подстановка значений:

Теперь подставим \(a = \frac{1}{6}\) и \(b = \frac{1}{20}\) в упрощенное выражение:

\[ 6\left(\frac{1}{6}\right) + \frac{1}{4\left(\frac{1}{20}\right)} \]


Вычисляем:

\[ 1 + \frac{1}{\frac{4}{20}} \]


Упрощаем дробь в знаменателе:

\[ 1 + \frac{1}{\frac{1}{5}} \]


Деление на дробь равно умножению на обратную дробь:

\[ 1 + 1 \times 5 \]


Вычисляем:

\[ 1 + 5 = 6 \]

Ответ: 6