В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 3, cos A = \(\frac{\sqrt{5}}{5}\). Найдите длину стороны BC.

Решение:

1. Определение известных величин:
• В прямоугольном треугольнике ABC:
• Угол C = 90° (прямой угол)
• Сторона AC (прилежащий катет к углу A) = 3
• Косинус угла A: \(\cos A = \frac{\sqrt{5}}{5}\)
2. Использование определения косинуса:
• Косинус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе:
\[ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \]


В нашем случае:

\[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]

• Находим длину гипотенузы AB:
• Подставляем известные значения:
\[ \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{3}{AB} \]


Выражаем AB:

\[ AB = \frac{3 \times 5}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}} \]


Избавляемся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}\):

\[ AB = \frac{15\sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{5} \]

• Находим длину катета BC:
• Используем теорему Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\), где \(a\) и \(b\) — катеты, \(c\) — гипотенуза.
• В нашем случае: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\)
\[ 3^2 + BC^2 = (3\sqrt{5})^2 \]


Вычисляем:

\[ 9 + BC^2 = 9 \times 5 \]


\(9 + BC^2 = 45\)




Выражаем \(BC^2\):

\[ BC^2 = 45 - 9 \]


\(BC^2 = 36\)




Находим BC, извлекая квадратный корень:

\[ BC = \sqrt{36} = 6 \]

Ответ: Длина стороны BC равна 6.