7. Найдите значение выражения: \( \sqrt[3]{\frac{\sqrt{10}\cdot \sqrt[3]{25}}{\sqrt{2}}} \)

Решение:

1. Приведем корни к одному показателю степени. Наименьший общий показатель для 3 и 2 равен 6.
2. \( \sqrt[3]{25} = \sqrt[6]{25^2} = \sqrt[6]{625} \)
3. \( \sqrt{2} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8} \)
4. \( \sqrt{10} = \sqrt[6]{10^3} = \sqrt[6]{1000} \)
5. Вынесем все под один корень шестой степени: \[ \sqrt[3]{\frac{\sqrt{10}\cdot \sqrt[3]{25}}{\sqrt{2}}} = \sqrt[3]{\frac{\sqrt[6]{1000} \cdot \sqrt[6]{625}}{\sqrt[6]{8}}} = \sqrt[3]{\sqrt[6]{\frac{1000 \cdot 625}{8}}} \]
6. Упростим выражение под корнем: \[ \sqrt[3]{\sqrt[6]{\frac{625000}{8}}} = \sqrt[3]{\sqrt[6]{78125}} \]
7. \( 78125 = 5^6 \)
8. \( \sqrt[3]{\sqrt[6]{5^6}} = \sqrt[3]{5} \)

Ответ: \( \sqrt[3]{5} \).