7. Найти наибольшее и наименьшее значение функции \( f(x) = 3x^5 - 5x^3 + 1 \) на отрезке \([-2; 2]\)

Решение:

1. Найдём производную функции: \( f'(x) = (3x^5 - 5x^3 + 1)' = 15x^4 - 15x^2 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 15x^4 - 15x^2 = 0 \) \( 15x^2(x^2 - 1) = 0 \).
3. Решения: \( x^2 = 0 \) \( ⇒ x=0 \) или \( x^2 = 1 \) \( ⇒ x = ± 1 \).
4. Критические точки внутри отрезка \([-2; 2]\): \( -1, 0, 1 \).
5. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
• \( f(-2) = 3(-2)^5 - 5(-2)^3 + 1 = 3(-32) - 5(-8) + 1 = -96 + 40 + 1 = -55 \).
• \( f(-1) = 3(-1)^5 - 5(-1)^3 + 1 = 3(-1) - 5(-1) + 1 = -3 + 5 + 1 = 3 \).
• \( f(0) = 3(0)^5 - 5(0)^3 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1 \).
• \( f(1) = 3(1)^5 - 5(1)^3 + 1 = 3 - 5 + 1 = -1 \).
• \( f(2) = 3(2)^5 - 5(2)^3 + 1 = 3(32) - 5(8) + 1 = 96 - 40 + 1 = 57 \).
6. Сравним полученные значения: \( -55, 3, 1, -1, 57 \).
7. Наибольшее значение равно 57, наименьшее — -55.

Ответ: Наибольшее значение — 57, наименьшее значение — -55.