7. Найти область определения и множество значений следующих функций: а) y = 2^{|x|}; б) y = −2^x; в) y = |3^x − 3|. Построить графики этих функций.

а) y = 2^|x|. Показательная функция определена при любом показателе, поэтому область определения — ℝ. Поскольку |x| ≥ 0, имеем 2^|x| ≥ 1; равенство достигается при x = 0. Значит, множество значений — [1; +∞). График симметричен относительно оси y.

б) y = −2^x. Степень 2^x определена для любого x и всегда положительна. Следовательно, область определения — ℝ, а после умножения на −1 значения всегда отрицательны. Множество значений — (−∞; 0).

в) y = |3^x − 3|. Область определения — ℝ. Модуль неотрицателен, а значение 0 достигается, когда 3^x = 3, то есть при x = 1. При x < 1 выражение внутри модуля отрицательно, а при x > 1 — положительно. Поэтому множество значений — [0; +∞).

Для построения третьего графика удобно записать функцию частями: при x ≤ 1, y = 3 − 3^x; при x ≥ 1, y = 3^x − 3. Обе части соединяются в точке (1; 0).

Области определения и множества значений: а) D = ℝ, E = [1; +∞); б) D = ℝ, E = (−∞; 0); в) D = ℝ, E = [0; +∞).