7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 0,5x^2, y = 0, x = 3.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью \( Ox \) и прямыми \( x = a \) и \( x = b \), вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) dx \]

В данном случае \( f(x) = 0.5x^2 \), \( a = 0 \) (так как \( y = 0.5x^2 \) и \( y = 0 \) пересекаются в \( x=0 \)) и \( b = 3 \).

1. Вычислим определенный интеграл:

\[ S = \int_{0}^{3} 0.5x^2 dx = 0.5 \int_{0}^{3} x^2 dx \]

\[ 0.5 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = 0.5 \left( \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 0.5 \left( \frac{27}{3} - 0 \right) = 0.5 \cdot 9 = 4.5 \]

Ответ: 4.5.