9. В уравнении x^2 - 4x + b = 0 сумма квадратов корней равна 16. Найдите значение параметра b.

Решение:

Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения \( x^2 - 4x + b = 0 \). По теореме Виета:

\[ x_1 + x_2 = -(-4) = 4 \]

\[ x_1 x_2 = b \]

Дано, что сумма квадратов корней равна 16:

\[ x_1^2 + x_2^2 = 16 \]

Воспользуемся формулой \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \).

Подставим известные значения:

\[ 16 = (4)^2 - 2(b) \]

\[ 16 = 16 - 2b \]

\[ 2b = 16 - 16 \]

\[ 2b = 0 \]

\[ b = 0 \]

Для существования действительных корней дискриминант должен быть неотрицательным: \( D = (-4)^2 - 4b \ge 0 \). \( 16 - 4(0) = 16 \ge 0 \). Условие выполняется.

Ответ: 0.