7. Найти x. На рисунке AB = BC = CD, AC ⟂ CD; отмеченные дугами углы BAC и CAD равны, а x = ∠CAD.

Пусть ∠BAC = ∠CAD = x. Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный, поэтому ∠BCA = x.

Угол BCD состоит из углов BCA и ACD. Так как AC ⟂ CD, ∠ACD = 90°, следовательно, ∠BCD = x + 90°.

В треугольнике ABC равные стороны AB и BC вместе с равными углами при A и C дают AC = 2·AB·cos x. В прямоугольном треугольнике ACD, где CD = AB, отношение CD/AC = tan x. Значит, tan x = 1/(2 cos x), откуда sin x = 1/2. Угол x острый, поэтому x = 30°.

Ответ: x = 30°.