7. Окружность с центром в точ- ного треугольника АВС, в ко- тором АВ = ВС И ДАВС = 123°. Найдите угол ВОС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Треугольник ABC равнобедренный, так как AB = BC. Следовательно, углы при основании AC равны:

\( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180° - 123°}{2} = \frac{57°}{2} = 28.5° \)

Центр окружности, описанной около треугольника, находится в точке пересечения серединных перпендикуляров. В равнобедренном треугольнике центр описанной окружности лежит на оси симметрии (медиане, высоте, биссектрисе, проведенной к основанию).

Однако, в данном случае нам нужно найти угол ВОС, где O - центр описанной окружности. Угол ВОС является центральным углом, опирающимся на дугу BC. Угол BAC является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу.

Связь между центральным и вписанным углами, опирающимися на одну дугу: центральный угол равен удвоенному вписанному углу.

\( \angle BOC = 2 \cdot \angle BAC \)

Но в условии дано \( \angle ABC = 123° \), а не \( \angle BAC \). Угол ABC является углом при вершине равнобедренного треугольника.

\( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180° - 123°}{2} = \frac{57°}{2} = 28.5° \)

Центральный угол \( \angle BOC \) опирается на дугу AC. Вписанный угол \( \angle BAC \) опирается на дугу BC. Это не то, что нам нужно.

Рассмотрим центральный угол \( \angle AOC \) и вписанный угол \( \angle ABC \). Они опираются на дугу AC. \( \angle AOC = 2 \cdot \angle ABC \) - это неверно, так как \( \angle ABC \) не является вписанным углом, опирающимся на дугу AC.

Давайте перечитаем условие. \( AB = BC \) - равнобедренный треугольник. \( \angle ABC = 123° \).

Вписанный угол, опирающийся на дугу AC, равен \( \angle ABC = 123° \) - это не так. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Центральный угол \( \angle BOC \) опирается на дугу BC. Вписанный угол, опирающийся на дугу BC, это \( \angle BAC \).

\( \angle BAC = \frac{180° - 123°}{2} = 28.5° \).

Значит, центральный угол \( \angle BOC \) равен удвоенному \( \angle BAC \) только если O лежит между вершинами A и B, и угол ABC является острым. Здесь угол тупой.

Дуга BC = 2 * \( \angle BAC \) = 2 * 28.5° = 57°.

Центральный угол \( \angle BOC \) равен величине дуги BC. Следовательно, \( \angle BOC = 57° \).

Проверка: \( \angle BAC = 28.5°, \angle BCA = 28.5°, \angle ABC = 123° \). Сумма углов = 28.5 + 28.5 + 123 = 180°.

Угол BOC - центральный, опирается на дугу AC. Нет, опирается на дугу BC. Угол BAC - вписанный, опирается на дугу BC. Значит \( \angle BOC = 2 \cdot \angle BAC \) неверно.

Центральный угол \( \angle BOC \) = дуга BC. Вписанный угол, опирающийся на дугу BC, это \( \angle BAC \). Поэтому \( \angle BOC = 2 \cdot \angle BAC \) - это верно.

\( \angle BAC = \frac{180 - 123}{2} = 28.5 \)

\( \angle BOC = 2 \cdot 28.5 = 57 \)

Ответ: 57