7. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Обозначим высоту треугольника, проведённую к основанию AC, через h, а боковую сторону — через l. Поскольку окружность касается прямой AC в её середине, её центр лежит на перпендикуляре к AC через середину основания. Это вневписанная окружность, противоположная вершине B.

1. Площадь треугольника равна S = 12h / 2 = 6h, а его полупериметр — s = l + 6.
2. Радиус этой вневписанной окружности равен S / (s − 12), поэтому 8 = 6h / (l − 6). Отсюда h = 4(l − 6) / 3.
3. По теореме Пифагора для половины равнобедренного треугольника: l² = h² + 6². Подставим выражение для h: l² = 16(l − 6)² / 9 + 36. После упрощения получаем 7l² − 192l + 900 = 0. Корни — 6 и 150/7; l = 6 даёт вырожденный треугольник, поэтому l = 150/7.
4. Тогда h = 144/7, S = 864/7, а s = 192/7. Радиус вписанной окружности r = S/s = (864/7) / (192/7) = 9/2? Исправим деление: 864/192 = 9/2.

Ответ: 9/2.