9. Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.

Обозначим через N середину BC — вторую точку пересечения окружности со стороной BC. Поскольку BM — медиана, M — середина AC. Следовательно, MN — средняя линия треугольника ABC, поэтому MN параллельна AB.

1. BM — диаметр окружности, а N лежит на ней, значит, угол BNM прямой.
2. Так как MN параллельна AB, из перпендикулярности MN и BN следует, что AB перпендикулярна BC. Значит, треугольник ABC прямоугольный при B, а AC — его гипотенуза.
3. Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы: R = AC/2 = 4/2 = 2.

Ответ: 2.