8. Площадь треугольника ABC равна 90. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E, при этом BD : CD = 2 : 1. Найдите площадь четырёхугольника EDCK.

Так как AD — биссектриса, по теореме о биссектрисе BD/DC = AB/AC = 2/1. Введём аффинные координаты относительно вершин A, B, C: точки зададим тройками коэффициентов при A, B, C, сумма которых равна 1.

1. D делит BC в отношении 2:1, поэтому D = (0, 1/3, 2/3). Медиана BK приходит в середину AC: K = (1/2, 0, 1/2).
2. Точка E лежит на AD и BK. На AD её координаты имеют вид (1 − t, t/3, 2t/3), а на BK — (s/2, 1 − s, s/2). Приравнивая координаты, получаем t = 3/5, s = 4/5, следовательно, E = (2/5, 1/5, 2/5).
3. Площадь четырёхугольника EDCK составляет 2/15 площади ABC. Это следует, например, из вычисления площади многоугольника EDCK по координатам в базисе векторов AB и AC.
4. S_EDCK = 90 · 2/15 = 12.

Ответ: 12.