7. Основания прямоугольной трапеции равны 7 см и 15 см, а один из углов 60°. Найдите большую боковую сторону трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции \( a = 7 \) см и \( b = 15 \) см. Трапеция прямоугольная, значит, одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Эта сторона является высотой трапеции.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Угол при меньшем основании равен 60°.

Пусть ABCD — трапеция, BC || AD, AB ⊥ AD. BC = 7, AD = 15. Угол D = 60°.

Опустим высоту BH из вершины B на основание AD. Тогда AB = BH (высота).

В прямоугольном треугольнике BHC, ∠C = 180° - 60° = 120° (если угол D 60), но это не прямоугольная трапеция. В прямоугольной трапеции углы у боковой стороны, не перпендикулярной основаниям, являются тупым и острым. Пусть угол при основании AD равен 60°. Это значит, что угол при вершине D равен 60°.

Опустим высоту CH из вершины C на основание AD. Тогда HD = AD - AH. AH = BC = 7. HD = 15 - 7 = 8.

В прямоугольном треугольнике CHD, угол D = 60°. Нам нужна боковая сторона CD.

\( \textrm{cos}(60°) = \frac{HD}{CD} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{8}{CD} \)

\( CD = 16 \) см.

Случай 2: Угол при большем основании равен 60°.

В прямоугольной трапеции углы при одном основании могут быть 90° и 90°, либо 90° и острый/тупой. Если угол 60° при большем основании, то это острый угол. Пусть угол при вершине D = 60°.

Тогда боковая сторона, перпендикулярная основаниям, будет высотой. Пусть это AB. AB = h.

Опустим высоту CH из вершины C на основание AD. Тогда HD = AD - AH. AH = BC = 7. HD = 15 - 7 = 8.

В прямоугольном треугольнике CHD, угол D = 60°. Найдем CD.

\( \textrm{cos}(60°) = \frac{HD}{CD} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{8}{CD} \)

\( CD = 16 \) см.

В этом случае большая боковая сторона — это CD.

Если угол при вершине A = 60°, то это не может быть в прямоугольной трапеции, так как угол при A и B должны быть 90°. Предположим, что угол при вершине D = 60°.

Ответ: 16 см.