7. От деревянного бруска размером 70 см х 20 см х 30 см отпилили несколько дощечек размером 3 см х 20 см х 30 см. После этого остался брусок объёмом менее 700 см³. Сколько дощечек отпилили?

Решение:

1. Найдем объём исходного бруска: \( V_{бруска} = 70 \text{ см} \times 20 \text{ см} \times 30 \text{ см} = 42000 \text{ см}^3 \).
2. Найдем объём одной дощечки: \( V_{дощечки} = 3 \text{ см} \times 20 \text{ см} \times 30 \text{ см} = 1800 \text{ см}^3 \).
3. Пусть \( n \) — количество отпиленных дощечек. Общий объём отпиленных дощечек равен \( n \times 1800 \text{ см}^3 \).
4. Объём оставшегося бруска: \( V_{остатка} = V_{бруска} - n \times V_{дощечки} = 42000 - n \times 1800 \).
5. По условию, объём оставшегося бруска менее 700 см³: \( 42000 - n \times 1800 < 700 \).
6. Решим неравенство: \( 42000 - 700 < n \times 1800 \) \( 41300 < n \times 1800 \) \( n > \frac{41300}{1800} \) \( n > 22.94 \).
7. Так как количество дощечек должно быть целым числом, то \( n \) должно быть не менее 23.
8. Проверим, сколько дощечек можно отпилить, чтобы объем остался менее 700 см³. Максимальное количество дощечек, которое можно отпилить, чтобы объём остался менее 700 см³, это 23.
9. Объем после отпиливания 23 дощечек: \( 42000 - 23 \times 1800 = 42000 - 41400 = 600 \text{ см}^3 \). Это меньше 700 см³.
10. Если отпилить 22 дощечки: \( 42000 - 22 \times 1800 = 42000 - 39600 = 2400 \text{ см}^3 \). Это больше 700 см³.

Ответ: 23 дощечки.