7. Постройте график функции f(x)=x²−2x−8. Найдите свойства данной функции: область определения, множество значений, нули функции, значения аргумента, при которых функция принимает положительные и отрицательные значения, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения функции, чётность или нечётность.

Выделим полный квадрат: \(f(x)=x^2-2x-8=(x-1)^2-9\). Парабола направлена вверх; её вершина — \((1;-9)\), ось симметрии — \(x=1\).

Нули функции: \((x-1)^2-9=0\), откуда \(x=-2\) или \(x=4\). Поэтому \(f(x)=(x+2)(x-4)\).

График функции:

• Область определения: \(\mathbb{R}\).
• Множество значений: \([-9; +\infty)\), так как наименьшее значение достигается в вершине.
• Нули: \(x=-2\) и \(x=4\).
• Функция положительна при \(x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty)\), отрицательна при \(x\in(-2;4)\).
• Убывает на \((-\infty;1]\), возрастает на \([1;+\infty)\).
• Наименьшее значение равно \(-9\) при \(x=1\); наибольшего значения нет.
• Функция ни чётная, ни нечётная: например, \(f(1)=-9\), а \(f(-1)=-5\).