7*. Постройте график функции y = (x-2)(x^2-6x+8) / |x-2|. Укажите промежутки возрастания функции.

Решение:

Сначала упростим функцию. Разложим квадратный трёхчлен \( x^2 - 6x + 8 \) на множители. Корни уравнения \( x^2 - 6x + 8 = 0 \) найдём по теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 6 \), \( x_1 x_2 = 8 \). Корни: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 4 \).

Значит, \( x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4) \).

Подставим это в выражение для \( y \):

\[ y = \frac{(x-2)(x-2)(x-4)}{|x-2|} \]

Рассмотрим два случая:

1. Если \( x-2 > 0 \) (то есть \( x > 2 \)):

Тогда \( |x-2| = x-2 \).

\[ y = \frac{(x-2)(x-2)(x-4)}{x-2} = (x-2)(x-4) = x^2 - 6x + 8 \]

2. Если \( x-2 < 0 \) (то есть \( x < 2 \)):

Тогда \( |x-2| = -(x-2) \).

\[ y = \frac{(x-2)(x-2)(x-4)}{-(x-2)} = -(x-2)(x-4) = -(x^2 - 6x + 8) = -x^2 + 6x - 8 \]

3. Случай \( x = 2 \):

Знаменатель \( |x-2| = 0 \), поэтому \( x=2 \) не входит в область определения функции.

Теперь построим график:

Для \( x > 2 \), график — часть параболы \( y = x^2 - 6x + 8 \). Вершина этой параболы находится в точке \( x_v = -\frac{-6}{2(1)} = 3 \), \( y_v = 3^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 \). Точка \( (3, -1) \) — вершина.

Для \( x < 2 \), график — часть параболы \( y = -x^2 + 6x - 8 \). Вершина этой параболы находится в точке \( x_v = -\frac{6}{2(-1)} = 3 \). Однако, эта часть графика действует только для \( x < 2 \), поэтому вершина \( (3, -1) \) не входит в эту часть графика. В точке \( x=2 \) функция не определена. График будет выглядеть как часть перевёрнутой параболы.

Промежутки возрастания:

Для \( x > 2 \) функция \( y = x^2 - 6x + 8 \) возрастает при \( x > 3 \).

Для \( x < 2 \) функция \( y = -x^2 + 6x - 8 \) возрастает при \( x < 3 \). Учитывая условие \( x < 2 \), функция возрастает на интервале \( (-\infty, 2) \).

Объединяя, функция возрастает на \( (-\infty, 2) \cup (3, \infty) \).

Ответ: Промежутки возрастания: \( (-\infty, 2) \cup (3, \infty) \).