7. Постройте на одной координатной плоскости трех функций y = 3x + 5, y = -2x, y = 6/x – 9/x. Выделите треугольник, полученный в результате попарного пересечения этих графиков, определите его вид и найдите периметр, измерив стороны.

Решение:

1. Построение графиков:

• y = 3x + 5 (линейная функция). Найдем две точки:
  • При x = 0, y = 5. Точка (0, 5).
  • При y = 0, 0 = 3x + 5, x = -5/3 ≈ -1.67. Точка (-1.67, 0).
• y = -2x (линейная функция). Проходит через начало координат (0,0). Вторая точка: при x = 1, y = -2. Точка (1, -2).
• y = 6/x – 9/x = -3/x (гипербола). График расположен в II и IV четвертях. Асимптоты: x=0 (ось y) и y=0 (ось x). Точки:
  • При x = -1, y = 3. Точка (-1, 3).
  • При x = -3, y = 1. Точка (-3, 1).
  • При x = 1, y = -3. Точка (1, -3).
  • При x = 3, y = -1. Точка (3, -1).

2. Нахождение точек пересечения:

а) Пересечение y = 3x + 5 и y = -2x:

• 3x + 5 = -2x
• 5x = -5
• x = -1
• y = -2(-1) = 2. Точка A (-1, 2).

б) Пересечение y = 3x + 5 и y = -3/x:

• 3x + 5 = -3/x
• 3x² + 5x = -3
• 3x² + 5x + 3 = 0

Найдем дискриминант: D = b² - 4ac = 5² - 4(3)(3) = 25 - 36 = -11. Так как D < 0, действительных корней нет, графики не пересекаются.

в) Пересечение y = -2x и y = -3/x:

• -2x = -3/x
• -2x² = -3
• x² = 3/2
• x = ±√(3/2) ≈ ±1.22

Если x = √(3/2), то y = -2√(3/2) = -√((4*3)/2) = -√6 ≈ -2.45. Точка B (1.22, -2.45).

Если x = -√(3/2), то y = -2(-√(3/2)) = 2√(3/2) = √6 ≈ 2.45. Точка C (-1.22, 2.45).

3. Анализ:

Как видно, линейные функции y = 3x + 5 и y = -2x пересекаются в точке A(-1, 2). Гипербола y = -3/x не пересекает прямую y = 3x + 5. Гипербола y = -3/x пересекает прямую y = -2x в двух точках B(1.22, -2.45) и C(-1.22, 2.45). Таким образом, треугольник, образованный попарным пересечением этих графиков, не образуется, так как одна из пар графиков не пересекается.

Примечание: Возможно, в задании была опечатка, и функция y = 6/x – 9/x должна была быть другой.

Если предположить, что задача подразумевала построение и нахождение точек пересечения, а не формирование треугольника, то:

Общие точки: A (-1, 2), B (1.22, -2.45), C (-1.22, 2.45).

Графики: