7. Представь дробь \( \frac{1}{14} \) в виде разности двух дробей, числитель каждой из которых равен 1.

Решение:

Нам нужно представить \( \frac{1}{14} \) как \( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \), где \( a \neq b \).

Приведём дроби к общему знаменателю:

\( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} \)

Мы хотим, чтобы \( \frac{b - a}{ab} = \frac{1}{14} \).

Это означает, что \( b - a = 1 \) и \( ab = 14 \).

Из первого уравнения: \( b = a + 1 \).

Подставим во второе уравнение:

\( a(a+1) = 14 \)

\( a^2 + a - 14 = 0 \)

Дискриминант \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 1 + 56 = 57 \).

Так как дискриминант не является полным квадратом, целых решений для \( a \) нет.

Попробуем найти другие варианты, например, где \( b-a \) не равно 1.

Пусть \( \frac{1}{14} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \). Найдем пары множителей для 14: \( 1 \cdot 14, 2 \cdot 7 \).

Вариант 1:

Пусть \( ab = 14 \). Если \( a = 2 \) и \( b = 7 \).

Тогда \( b - a = 7 - 2 = 5 \).

Нам нужно, чтобы \( b - a = 1 \). Это не подходит.

Рассмотрим другой подход:

\( \frac{1}{14} = \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \)

\( \frac{1}{14} = \frac{y-x}{xy} \)

Пусть \( y-x = 1 \) и \( xy = 14 \). Из \( y = x+1 \) следует \( x(x+1)=14 \), что мы уже видели и оно не имеет целочисленных решений.

Можно использовать общий знаменатель, например, \( 2 \cdot 7 = 14 \).

\( \frac{1}{14} = \frac{7-2}{14} \) - здесь числители разные.

Попробуем подставить разные знаменатели.

Если \( a=15 \), \( b=? \)

\( \frac{1}{15} - \frac{1}{b} = \frac{1}{14} \)

\( \frac{1}{b} = \frac{1}{15} - \frac{1}{14} = \frac{14 - 15}{15 \cdot 14} = \frac{-1}{210} \)

\( b = -210 \). Это дробь с отрицательным знаменателем, что не соответствует условию.

Попробуем \( a=13 \), \( b=? \)

\( \frac{1}{13} - \frac{1}{b} = \frac{1}{14} \)

\( \frac{1}{b} = \frac{1}{13} - \frac{1}{14} = \frac{14 - 13}{13 \cdot 14} = \frac{1}{182} \)

\( b = 182 \).

Проверим: \( \frac{1}{13} - \frac{1}{182} = \frac{182}{13 \cdot 182} - \frac{13}{13 \cdot 182} = \frac{182 - 13}{2366} = \frac{169}{2366} \). Не равно \( \frac{1}{14} \).

Другой способ:

\( \frac{1}{14} = \frac{2}{28} = \frac{7-5}{?} \)

\( \frac{1}{14} = \frac{1}{2} - \frac{6}{14} = \frac{1}{2} - \frac{3}{7} \) - Здесь числители разные.

\( \frac{1}{14} = \frac{1}{3} - \frac{?}{?} \)

\( \frac{1}{3} - \frac{1}{14} = \frac{14-3}{42} = \frac{11}{42} \)

Возьмем знаменатели, разность которых равна 14, а произведение их дает число, делящееся на 14.

Пусть \( b-a = 1 \), \( ab = 14k \), где \( k \) - множитель.

Если \( k=1 \), то \( ab=14 \) и \( b-a=1 \), что мы уже видели, не имеет решений.

Если \( k=2 \), то \( ab=28 \) и \( b-a=1 \). \( a(a+1)=28 \). \( a^2+a-28=0 \). \( D = 1 - 4(1)(-28) = 1+112 = 113 \). Нет решений.

Если \( k=3 \), то \( ab=42 \) и \( b-a=1 \). \( a(a+1)=42 \). \( a^2+a-42=0 \). \( (a+7)(a-6)=0 \). \( a=6 \) (так как знаменатель должен быть положительным).

Если \( a=6 \), то \( b=a+1=7 \).

Тогда \( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \).

\( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{7 - 6}{6 \cdot 7} = \frac{1}{42} \).

Это равно \( \frac{1}{42} \), а нам нужно \( \frac{1}{14} \).

Ещё одна попытка:

\( \frac{1}{14} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \)

Пусть \( a = 15 \). Тогда \( \frac{1}{15} - \frac{1}{b} = \frac{1}{14} \), \( \frac{1}{b} = \frac{1}{15} - \frac{1}{14} = \frac{14-15}{210} = \frac{-1}{210} \), \( b = -210 \). Не подходит.

Пусть \( a = 13 \). Тогда \( \frac{1}{13} - \frac{1}{b} = \frac{1}{14} \), \( \frac{1}{b} = \frac{1}{13} - \frac{1}{14} = \frac{14-13}{182} = \frac{1}{182} \), \( b = 182 \).

Проверим: \( \frac{1}{13} - \frac{1}{182} = \frac{14}{182} - \frac{1}{182} = \frac{13}{182} = \frac{1}{14} \). Это подходит!

Или можно взять \( a=15 \) и \( b=210 \)

\( \frac{1}{15} - \frac{1}{210} = \frac{14}{210} - \frac{1}{210} = \frac{13}{210} \). Не подходит.

Правильный вариант:

\( \frac{1}{14} = \frac{1}{13} - \frac{1}{182} \).

Числители обеих дробей равны 1. Проверим:

\( \frac{1}{13} - \frac{1}{182} = \frac{14}{182} - \frac{1}{182} = \frac{13}{182} \). Сократим \( \frac{13}{182} \) на 13: \( 182 / 13 = 14 \). Получаем \( \frac{1}{14} \).

Другой вариант:

\( \frac{1}{14} = \frac{1}{15} - \frac{1}{210} \)

\( \frac{1}{15} - \frac{1}{210} = \frac{14}{210} - \frac{1}{210} = \frac{13}{210} \). Это неверно.

Еще один вариант:

\( \frac{1}{14} = \frac{1}{7} - \frac{1}{14} \)

\( \frac{1}{7} - \frac{1}{14} = \frac{2}{14} - \frac{1}{14} = \frac{1}{14} \)

Здесь числители равны 1. Это тоже подходит.

Ответ: \( \frac{1}{14} = \frac{1}{7} - \frac{1}{14} \) или \( \frac{1}{14} = \frac{1}{13} - \frac{1}{182} \)