7. При каких значениях переменной имеет смысл выражение \( \sqrt{6x+1} + \frac{3}{\sqrt{5-x}} \)?

Решение:

Выражение имеет смысл, если подкоренные выражения неотрицательны, а знаменатель не равен нулю.

1. Для квадратного корня \( \sqrt{6x+1} \) должно выполняться условие: \( 6x + 1 \ge 0 \).

\( 6x \ge -1 \)

\( x \ge -\frac{1}{6} \).

2. Для квадратного корня в знаменателе \( \sqrt{5-x} \) должно выполняться условие: \( 5 - x > 0 \) (строго больше нуля, так как корень находится в знаменателе).

\( 5 > x \)

\( x < 5 \).

3. Знаменатель дроби \( \sqrt{5-x} \) не должен быть равен нулю. Это условие уже учтено в пункте 2, так как \( 5 - x > 0 \) гарантирует, что \( \sqrt{5-x} \) не равен нулю.

4. Объединим полученные условия: \( x \ge -\frac{1}{6} \) и \( x < 5 \).

Таким образом, \( -\frac{1}{6} \le x < 5 \).

Ответ: \( x \in [-\frac{1}{6}; 5) \).