7. Расстояние от пристани до турбазы составляет 24 км по реке. В 10.00 моторная лодка вышла от пристани и в 16.00 этого же дня вернулась обратно. На турбазе лодка стояла 1 час. Какова собственная скорость моторной лодки, если скорость течения реки составляет 2 км/ч?

Общее время от отправления до возвращения — 6 ч. На стоянку ушёл 1 ч, значит, лодка была в пути 5 ч.

Пусть \(v\) км/ч — собственная скорость лодки. Тогда её скорость по течению равна \(v+2\), а против течения — \(v-2\).

Время пути туда и обратно составляет 5 ч:

\[\frac{24}{v+2}+\frac{24}{v-2}=5,\qquad v>2.\]

Умножим уравнение на \((v+2)(v-2)\):

\[24(v-2)+24(v+2)=5(v^2-4),\]

\[48v=5v^2-20,\qquad 5v^2-48v-20=0.\]

Корни уравнения: \(v=10\) и \(v=-0.4\). Отрицательное значение не подходит, поскольку скорость должна быть положительной и \(v>2\). Проверка: по течению лодка проходит 24 км за \(24:12=2\) ч, против течения — за \(24:8=3\) ч; всего 5 ч.

Ответ: собственная скорость лодки — 10 км/ч.