7. Решить задачу: Дано: В 1-й секции библиотеки — 8 новых изданий и 2 старых учебника. Во 2-й секции — 7 новых изданий и 3 старых учебника. Из каждой секции наугад берут по 1 книге. Какова вероятность того, что: a) обе книги окажутся новыми изданиями; б) будет извлечен хотя бы один старый учебник?

7. Решение задачи

Дано:
Секция 1: 8 новых (Н1), 2 старых (С1). Всего в секции 1: \( 8 + 2 = 10 \) книг.
Секция 2: 7 новых (Н2), 3 старых (С2). Всего в секции 2: \( 7 + 3 = 10 \) книг.
Из каждой секции наугад берут по 1 книге.

Найти:
Вероятность событий:

1. а) Обе книги — новые.
2. б) Хотя бы один старый учебник.

Решение:

1. а) Вероятность того, что обе книги окажутся новыми изданиями.

   Вероятность взять новую книгу из 1-й секции: \( P(Н1) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \)
   Вероятность взять новую книгу из 2-й секции: \( P(Н2) = \frac{7}{10} \)
   Так как события независимые, вероятность того, что обе книги новые, равна произведению вероятностей:

   \[ P(\text{обе новые}) = P(Н1) \cdot P(Н2) = \frac{4}{5} \cdot \frac{7}{10} = \frac{28}{50} = \frac{14}{25} \]
2. б) Вероятность того, что будет извлечен хотя бы один старый учебник.

   Событие «хотя бы один старый учебник» является противоположным событию «обе книги — новые».
   Вероятность противоположного события равна 1 минус вероятность исходного события.

   \[ P(\text{хотя бы один старый}) = 1 - P(\text{обе новые}) \]
   \[ P(\text{хотя бы один старый}) = 1 - \frac{14}{25} = \frac{25}{25} - \frac{14}{25} = \frac{11}{25} \]

   Альтернативный способ для пункта б:
   Рассмотрим все случаи, когда будет хотя бы один старый учебник:
   

   • Старый из 1-й, Новый из 2-й: \( P(С1 \cap Н2) = P(С1) \cdot P(Н2) = \frac{2}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{14}{100} \)
   • Новый из 1-й, Старый из 2-й: \( P(Н1 \cap С2) = P(Н1) \cdot P(С2) = \frac{8}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{24}{100} \)
   • Старый из 1-й, Старый из 2-й: \( P(С1 \cap С2) = P(С1) \cdot P(С2) = \frac{2}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{6}{100} \)

   Суммируем вероятности этих несовместных событий:

   \[ P(\text{хотя бы один старый}) = \frac{14}{100} + \frac{24}{100} + \frac{6}{100} = \frac{44}{100} = \frac{11}{25} \]

Ответ: а) Вероятность того, что обе книги окажутся новыми изданиями, равна 14/25. б) Вероятность того, что будет извлечен хотя бы один старый учебник, равна 11/25.