7. Решите уравнение x⁴ - 2x² - 8 = 0.

Решение:

Сделаем замену переменной. Пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - 2y - 8 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \]

Найдем корни \( y \):

\[ y_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

\[ y_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Теперь вернемся к замене \( y = x^2 \):

• \( x^2 = 4 \) => \( x = \pm\sqrt{4} \) => \( x = \pm 2 \).
• \( x^2 = -2 \). Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: x = 2, x = -2.