7. С какой высоты должна падать капля дождя, температура которой 20 °С, чтобы при ударе о Землю она полностью испарилась? Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение:

Для полного испарения капли дождя при ударе о Землю, вся ее кинетическая энергия, полученная при падении, должна быть преобразована в теплоту, необходимую для испарения.

1. Кинетическая энергия капли при ударе:

\( E_k = \frac{1}{2} m v^2 \)

где \( m \) — масса капли, \( v \) — скорость удара о Землю.

2. Скорость падения (без сопротивления воздуха):

\( v = \sqrt{2 g h} \)

где \( g \) — ускорение свободного падения ( \( \approx 9.8 \text{ м/с}^2 \) ), \( h \) — высота падения.

Подставляем скорость в формулу кинетической энергии:

\( E_k = \frac{1}{2} m (\sqrt{2 g h})^2 = \frac{1}{2} m (2 g h) = mgh \)

Эта энергия равна механической работе, совершаемой силой тяжести при падении.

3. Теплота, необходимая для испарения:

\( Q_{исп} = L \cdot m \)

где \( L \) — удельная теплота парообразования воды ( \( \approx 2.3 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг} \) при \( 20 \text{ °С} \) ), \( m \) — масса капли.

4. Приравнивание энергии и теплоты:

\( E_k = Q_{исп} \)

\( mgh = Lm \)

Масса капли \( m \) сокращается:

\( gh = L \)

\( h = \frac{L}{g} \)

5. Расчет высоты:

\( h = \frac{2.3 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг}}{9.8 \text{ м/с}^2} \approx 234694 \text{ м} \)

\( h \approx 234.7 \text{ км} \)

Ответ: Капля дождя должна упасть с высоты приблизительно 234.7 км, чтобы при ударе о Землю полностью испариться (без учета сопротивления воздуха).