7. Сколько целых чисел расположено между 5√7 и 7√5?

Решение:

Сравним числа \( 5\sqrt{7} \) и \( 7\sqrt{5} \) с целыми числами. Для этого возведем их в квадрат:

1. \( (5\sqrt{7})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 25 \cdot 7 = 175 \)
2. \( (7\sqrt{5})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 49 \cdot 5 = 245 \)

Теперь найдём целые числа, квадраты которых находятся между 175 и 245:

• \( 13^2 = 169 \) (меньше 175)
• \( 14^2 = 196 \) (между 175 и 245)
• \( 15^2 = 225 \) (между 175 и 245)
• \( 16^2 = 256 \) (больше 245)

Целые числа, квадраты которых лежат между 175 и 245, это 14 и 15. Значит, между \( 5\sqrt{7} \) и \( 7\sqrt{5} \) находятся целые числа 14 и 15.

Ответ: 2