7. Сколько целых положительных чисел содержится в области определения выражения $$\frac{\sqrt{12-5x}}{x^2+2}$$?

Решение:

Область определения выражения определяется условиями:

1. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \( 12 - 5x \ge 0 \)
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: \( x^2 + 2 \ne 0 \)
3. Решим первое неравенство: \( 12 \ge 5x \)
4. \( x \le \frac{12}{5} \)
5. \( x \le 2.4 \)
6. Второе неравенство \( x^2 + 2 \ne 0 \) верно для всех действительных \( x \), так как \( x^2 \) всегда неотрицательно, а \( x^2 + 2 \) всегда больше нуля.
7. Итак, область определения: \( x \le 2.4 \).
8. Нам нужно найти количество целых положительных чисел в этой области.
9. Положительные целые числа: 1, 2, 3, ...
10. Из условия \( x \le 2.4 \) подходят целые положительные числа: 1 и 2.

Ответ: 2.