7. Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = 3x^3 - 2x^2 \) в точке с абсциссой \( x_0 = 1 \).

Решение:

Уравнение касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( x_0 \) имеет вид: \( y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \).

1. Найдем значение функции в точке \( x_0 = 1 \):
• \( f(1) = 3(1)^3 - 2(1)^2 = 3 - 2 = 1 \).
2. Найдем производную функции: \( f'(x) = (3x^3 - 2x^2)' = 9x^2 - 4x \).
3. Найдем значение производной в точке \( x_0 = 1 \):
• \( f'(1) = 9(1)^2 - 4(1) = 9 - 4 = 5 \).
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
• \( y - 1 = 5(x - 1) \)
• \( y - 1 = 5x - 5 \)
• \( y = 5x - 5 + 1 \)
• \( y = 5x - 4 \).

Ответ: \( y = 5x - 4 \).