7. Сторона ромба равна 5, а одна из его диагоналей равна 8. Площадь ромба равна:

Дано:

• Ромб со стороной $$a=5$$
• Одна диагональ $$d_1=8$$

Найти: Площадь ромба $$S$$

Решение:

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной каждой диагонали и стороной ромба. Гипотенузой в этом треугольнике является сторона ромба, а катетами — половины диагоналей.

Половина первой диагонали: $$\frac{d_1}{2} = \frac{8}{2} = 4$$.

По теореме Пифагора найдем половину второй диагонали ($$ \frac{d_2}{2} $$):

\[ \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = a^2 \]\[ 4^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = 5^2 \]\[ 16 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = 25 \]\[ \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = 25 - 16 \]\[ \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = 9 \]\[ \frac{d_2}{2} = \sqrt{9} = 3 \]Теперь найдем длину второй диагонали:

\[ d_2 = 2 \times 3 = 6 \]

Площадь ромба вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \]\[ S = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 4 \times 6 = 24 \]

Ответ: 24