7 Тип 7 № 4024 Найдите значение выражения $$ \frac{6^2 (k-l)^2}{k^2 - l^2} \cdot \frac{(k+l)^2}{k^2 + l^2} \text{ при } k = -\sqrt{5} \text{ и } l = \sqrt{7}. $$

Давай упростим выражение шаг за шагом:

1. Знаменатель первой дроби: $$ k^2 - l^2 $$ — это разность квадратов, которую можно разложить как $$ (k-l)(k+l) $$.
2. Применим разность квадратов:

   $$ \frac{6^2 (k-l)^2}{(k-l)(k+l)} \cdot \frac{(k+l)^2}{k^2 + l^2} $$

3. Сократим дроби: У нас есть $$ (k-l)^2 $$ в числителе и $$ (k-l) $$ в знаменателе, а также $$ (k+l)^2 $$ в числителе и $$ (k+l) $$ в знаменателе.
4. Упрощенное выражение:

   $$ \frac{6^2 (k-l)}{1} \cdot \frac{(k+l)}{k^2 + l^2} $$

5. Подставим значения $$k$$ и $$l$$:
• $$ k = -\sqrt{5} $$, $$ k^2 = (- \sqrt{5})^2 = 5 $$
• $$ l = \sqrt{7} $$, $$ l^2 = (\sqrt{7})^2 = 7 $$
• $$ k - l = -\sqrt{5} - \sqrt{7} $$
• $$ k + l = -\sqrt{5} + \sqrt{7} $$
• $$ k^2 + l^2 = 5 + 7 = 12 $$
6. Подставляем в упрощенное выражение:

$$ \frac{36 (- \sqrt{5} - \sqrt{7}) (- \sqrt{5} + \sqrt{7})}{12} $$

7. Умножим числитель: Сначала умножим $$ (k-l)(k+l) = k^2 - l^2 $$.

$$ - \sqrt{5} - \sqrt{7} = - (\sqrt{5} + \sqrt{7}) $$

$$ - \sqrt{5} + \sqrt{7} = \sqrt{7} - \sqrt{5} $$

$$ (- (\sqrt{5} + \sqrt{7})) (\sqrt{7} - \sqrt{5}) = - ((\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2) = - (7 - 5) = -2 $$

8. Теперь подставим это обратно:

$$ \frac{36 \times (-2)}{12} $$

9. Вычислим:

$$ \frac{-72}{12} = -6 $$

Ответ: -6