7. Тип 8 № 2563 В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Найдите величину угла A если DB = 8, a BC = 16.

Решение:

В прямоугольном \( \triangle BCD \) (так как \( CD \) — высота, \( \angle CDB = 90° \)), катет \( BC \) равен 16, а катет \( DB \) равен 8. Используем тангенс угла \( \angle B \):

\( \tan(\angle B) = \frac{CD}{DB} \) и \( \tan(\angle B) = \frac{BC}{AC} \).

Из \( \triangle BCD \) по теореме Пифагора найдём \( CD \):

\( CD^2 = BC^2 - DB^2 \)

\( CD^2 = 16^2 - 8^2 = 256 - 64 = 192 \)

\( CD = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3} \) см.

Теперь найдём \( AC \) из \( \triangle ABC \):

\( \tan(\angle B) = \frac{AC}{BC} \)

Найдём \( \tan(\angle B) \) из \( \triangle BCD \):

\( \tan(\angle B) = \frac{CD}{DB} = \frac{8\sqrt{3}}{8} = \sqrt{3} \)

Отсюда \( \angle B = 60° \).

В прямоугольном \( \triangle ABC \) \( \angle A + \angle B = 90° \).

\( \angle A = 90° - \angle B = 90° - 60° = 30° \).

Ответ: 30°.